确定原函数练习题 – 通过已知条件求解积分常数
曲线 \( y = f(x) \) 过点 \( (1, 4) \)，且 \( f'(x) = 2x + 1 \)，求曲线方程。 (4 marks)
步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）
对 \( f'(x) = 2x + 1 \) 积分：
\( f(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + c \)
步骤2：代入已知点求 \( c \)
曲线过点 \( (1, 4) \)，即 \( x=1 \) 时 \( y=4 \)，代入得：
\( 4 = 1^2 + 1 + c \implies c = 2 \)
步骤3：最终方程
\( y = x^2 + x + 2 \)
函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，且 \( f(0) = 5 \)，求 \( f(x) \)。 (4 marks)
步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）
对 \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 积分：
\( f(x) = \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + c \)
步骤2：代入 \( x=0 \) 求 \( c \)
当 \( x=0 \) 时 \( f(0) = 5 \)，代入得：
\( 5 = 0^3 - 0^2 + 0 + c \implies c = 5 \)
步骤3：最终函数
\( f(x) = x^3 - x^2 + x + 5 \)
函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + x^2 \)（\( x > 0 \)），且 \( f(1) = 3 \)，求 \( f(x) \)。 (5 marks)
步骤1：化简导数并积分
将 \( \frac{2}{\sqrt{x}} + x^2 \) 化为幂函数：\( 2x^{-\frac{1}{2}} + x^2 \)，积分得：
\( f(x) = \int (2x^{-\frac{1}{2}} + x^2) \, dx = 4x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^3}{3} + c \)
即：\( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} + c \)
步骤2：代入 \( x=1 \) 求 \( c \)
当 \( x=1 \) 时 \( f(1) = 3 \)，代入得：
\( 3 = 4\sqrt{1} + \frac{1^3}{3} + c = 4 + \frac{1}{3} + c \)
\( 3 = \frac{12}{3} + \frac{1}{3} + c = \frac{13}{3} + c \)
\( c = 3 - \frac{13}{3} = \frac{9}{3} - \frac{13}{3} = -\frac{4}{3} \)
步骤3：最终函数
\( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3} \)
函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \)（\( x > 0 \)），且 \( f(4) = 8 \)，求 \( f(x) \)。 (5 marks)
步骤1：化简导数并积分
将 \( \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \) 化为幂函数：\( x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}} \)，积分得：
\( f(x) = \int (x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}) \, dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8x^{\frac{1}{2}} + c \)
即：\( f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8\sqrt{x} + c \)
步骤2：代入 \( x=4 \) 求 \( c \)
当 \( x=4 \) 时 \( f(4) = 8 \)，代入得：
\( 8 = \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 8\sqrt{4} + c \)
\( 8 = \frac{2}{5} \cdot 32 - 8 \cdot 2 + c = \frac{64}{5} - 16 + c \)
\( 8 = \frac{64}{5} - \frac{80}{5} + c = -\frac{16}{5} + c \)
\( c = 8 + \frac{16}{5} = \frac{40}{5} + \frac{16}{5} = \frac{56}{5} \)
步骤3：最终函数
\( f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8\sqrt{x} + \frac{56}{5} \)
质点速度 \( v(t) = 4t - 2 \)（m/s），\( t=0 \) 时位移 \( s(0) = 3 \) m，求位移函数 \( s(t) \)。 (4 marks)
步骤1：积分求位移（含 \( c \)）
位移是速度的积分，对 \( v(t) = 4t - 2 \) 积分：
\( s(t) = \int (4t - 2) \, dt = 2t^2 - 2t + c \)
步骤2：代入 \( t=0 \) 求 \( c \)
\( t=0 \) 时 \( s(0) = 3 \)，代入得：
\( 3 = 2(0)^2 - 2(0) + c \implies c = 3 \)
步骤3：最终位移函数
\( s(t) = 2t^2 - 2t + 3 \)
质点加速度 \( a(t) = 4t \)（m/s²），\( t=0 \) 时速度 \( v(0) = 2 \) m/s、位移 \( s(0) = 1 \) m，求：
a. 速度函数 \( v(t) \) (3 marks)
b. 位移函数 \( s(t) \) (3 marks)
a. 求速度函数
步骤1：积分求速度（含 \( c_1 \)）
速度是加速度的积分，对 \( a(t) = 4t \) 积分：
\( v(t) = \int 4t \, dt = 2t^2 + c_1 \)
步骤2：代入 \( t=0 \) 求 \( c_1 \)
\( t=0 \) 时 \( v(0) = 2 \)，代入得：
\( 2 = 2(0)^2 + c_1 \implies c_1 = 2 \)
步骤3：速度函数
\( v(t) = 2t^2 + 2 \)
b. 求位移函数
步骤1：积分求位移（含 \( c_2 \)）
位移是速度的积分，对 \( v(t) = 2t^2 + 2 \) 积分：
\( s(t) = \int (2t^2 + 2) \, dt = \frac{2t^3}{3} + 2t + c_2 \)
步骤2：代入 \( t=0 \) 求 \( c_2 \)
\( t=0 \) 时 \( s(0) = 1 \)，代入得：
\( 1 = \frac{2(0)^3}{3} + 2(0) + c_2 \implies c_2 = 1 \)
步骤3：位移函数
\( s(t) = \frac{2t^3}{3} + 2t + 1 \)
曲线 \( y = f(x) \) 过点 \( (2, 5) \)，且 \( f'(x) = \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2} \)（\( x \neq 0 \)），求曲线方程。 (5 marks)
步骤1：化简导数并积分
将 \( \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2} \) 化为幂函数：\( x + 2x^{-1} - x^{-2} \)，积分得：
\( f(x) = \int (x + 2x^{-1} - x^{-2}) \, dx = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| + x^{-1} + c \)
即：\( f(x) = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| + \frac{1}{x} + c \)
步骤2：代入 \( x=2 \) 求 \( c \)
当 \( x=2 \) 时 \( f(2) = 5 \)，代入得：
\( 5 = \frac{2^2}{2} + 2\ln|2| + \frac{1}{2} + c \)
\( 5 = 2 + 2\ln 2 + \frac{1}{2} + c = \frac{5}{2} + 2\ln 2 + c \)
\( c = 5 - \frac{5}{2} - 2\ln 2 = \frac{5}{2} - 2\ln 2 \)
步骤3：最终方程
\( y = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| + \frac{1}{x} + \frac{5}{2} - 2\ln 2 \)
函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)，且 \( f(-1) = 4 \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的值。 (5 marks)
步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）
对 \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) 积分：
\( f(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + c \)
步骤2：代入 \( x=-1 \) 求 \( c \)
当 \( x=-1 \) 时 \( f(-1) = 4 \)，代入得：
\( 4 = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) + c = -1 + 1 + 1 + c = 1 + c \)
\( c = 4 - 1 = 3 \)
步骤3：最终函数
\( f(x) = x^3 + x^2 - x + 3 \)
步骤4：求 \( f(1) \)
\( f(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 3 = 1 + 1 - 1 + 3 = 4 \)
题目：曲线 \( y = f(x) \) 过点 \( (1, 4) \)，且 \( f'(x) = 2x + 1 \)，求曲线方程
解答过程：
步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）
对 \( f'(x) = 2x + 1 \) 积分：\( f(x) = \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + c \)
步骤2：代入已知点求 \( c \)
曲线过点 \( (1, 4) \)，即 \( x=1 \) 时 \( y=4 \)，代入得：\( 4 = 1^2 + 1 + c \implies c = 2 \)
步骤3：最终方程：\( y = x^2 + x + 2 \)
答案：\( y = x^2 + x + 2 \)
题目：函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，且 \( f(0) = 5 \)，求 \( f(x) \)
解答过程：
步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）
对 \( f'(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 积分：\( f(x) = \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + c \)
步骤2：代入 \( x=0 \) 求 \( c \)
当 \( x=0 \) 时 \( f(0) = 5 \)，代入得：\( 5 = 0^3 - 0^2 + 0 + c \implies c = 5 \)
步骤3：最终函数：\( f(x) = x^3 - x^2 + x + 5 \)
答案：\( f(x) = x^3 - x^2 + x + 5 \)
题目：函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + x^2 \)（\( x > 0 \)），且 \( f(1) = 3 \)，求 \( f(x) \)
解答过程：
步骤1：化简导数并积分
将 \( \frac{2}{\sqrt{x}} + x^2 \) 化为幂函数：\( 2x^{-\frac{1}{2}} + x^2 \)，积分得：\( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} + c \)
步骤2：代入 \( x=1 \) 求 \( c \)
当 \( x=1 \) 时 \( f(1) = 3 \)，代入得：\( 3 = 4\sqrt{1} + \frac{1^3}{3} + c = 4 + \frac{1}{3} + c \)
\( c = 3 - \frac{13}{3} = -\frac{4}{3} \)
步骤3：最终函数：\( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3} \)
答案：\( f(x) = 4\sqrt{x} + \frac{x^3}{3} - \frac{4}{3} \)
题目：函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \)（\( x > 0 \)），且 \( f(4) = 8 \)，求 \( f(x) \)
解答过程：
步骤1：化简导数并积分
将 \( \frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} \) 化为幂函数：\( x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}} \)，积分得：\( f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8\sqrt{x} + c \)
步骤2：代入 \( x=4 \) 求 \( c \)
当 \( x=4 \) 时 \( f(4) = 8 \)，代入得：\( 8 = \frac{2}{5} \cdot 32 - 8 \cdot 2 + c = \frac{64}{5} - 16 + c \)
\( c = 8 + \frac{16}{5} = \frac{56}{5} \)
步骤3：最终函数：\( f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8\sqrt{x} + \frac{56}{5} \)
答案：\( f(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 8\sqrt{x} + \frac{56}{5} \)
题目：质点速度 \( v(t) = 4t - 2 \)（m/s），\( t=0 \) 时位移 \( s(0) = 3 \) m，求位移函数 \( s(t) \)
解答过程：
步骤1：积分求位移（含 \( c \)）
位移是速度的积分，对 \( v(t) = 4t - 2 \) 积分：\( s(t) = \int (4t - 2) \, dt = 2t^2 - 2t + c \)
步骤2：代入 \( t=0 \) 求 \( c \)
\( t=0 \) 时 \( s(0) = 3 \)，代入得：\( 3 = 2(0)^2 - 2(0) + c \implies c = 3 \)
步骤3：最终位移函数：\( s(t) = 2t^2 - 2t + 3 \)
答案：\( s(t) = 2t^2 - 2t + 3 \)
题目：质点加速度 \( a(t) = 4t \)（m/s²），\( t=0 \) 时速度 \( v(0) = 2 \) m/s、位移 \( s(0) = 1 \) m，求速度函数和位移函数
解答过程：
a. 求速度函数：
积分求速度：\( v(t) = \int 4t \, dt = 2t^2 + c_1 \)
代入 \( t=0 \)：\( 2 = 2(0)^2 + c_1 \implies c_1 = 2 \)
速度函数：\( v(t) = 2t^2 + 2 \)
b. 求位移函数：
积分求位移：\( s(t) = \int (2t^2 + 2) \, dt = \frac{2t^3}{3} + 2t + c_2 \)
代入 \( t=0 \)：\( 1 = \frac{2(0)^3}{3} + 2(0) + c_2 \implies c_2 = 1 \)
位移函数：\( s(t) = \frac{2t^3}{3} + 2t + 1 \)
答案：a. \( v(t) = 2t^2 + 2 \)，b. \( s(t) = \frac{2t^3}{3} + 2t + 1 \)
题目：曲线 \( y = f(x) \) 过点 \( (2, 5) \)，且 \( f'(x) = \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2} \)（\( x \neq 0 \)），求曲线方程
解答过程：
步骤1：化简导数并积分
将 \( \frac{x^3 + 2x - 1}{x^2} \) 化为幂函数：\( x + 2x^{-1} - x^{-2} \)，积分得：\( f(x) = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| + \frac{1}{x} + c \)
步骤2：代入 \( x=2 \) 求 \( c \)
当 \( x=2 \) 时 \( f(2) = 5 \)，代入得：\( 5 = \frac{2^2}{2} + 2\ln|2| + \frac{1}{2} + c \)
\( c = 5 - \frac{5}{2} - 2\ln 2 = \frac{5}{2} - 2\ln 2 \)
步骤3：最终方程：\( y = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| + \frac{1}{x} + \frac{5}{2} - 2\ln 2 \)
答案：\( y = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| + \frac{1}{x} + \frac{5}{2} - 2\ln 2 \)
题目：函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \)，且 \( f(-1) = 4 \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的值
解答过程：
步骤1：积分求原函数（含 \( c \)）
对 \( f'(x) = 3x^2 + 2x - 1 \) 积分：\( f(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + c \)
步骤2：代入 \( x=-1 \) 求 \( c \)
当 \( x=-1 \) 时 \( f(-1) = 4 \)，代入得：\( 4 = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) + c = -1 + 1 + 1 + c = 1 + c \)
\( c = 4 - 1 = 3 \)
步骤3：最终函数：\( f(x) = x^3 + x^2 - x + 3 \)
步骤4：求 \( f(1) \)：\( f(1) = 1^3 + 1^2 - 1 + 3 = 1 + 1 - 1 + 3 = 4 \)
答案：\( f(1) = 4 \)
通过这些练习题，我们系统掌握了确定原函数的方法，包括基础积分、含根式积分、运动学应用和综合问题。重点掌握了：
核心技能：积分求原函数、代入已知条件求积分常数、运动学积分应用、复杂表达式化简
这些练习题涵盖了确定原函数的各个重要方面，通过实际计算可以加深对积分概念的理解，为后续定积分学习打下坚实基础。